جواب کاردرکلاس صفحه36 فصل2 ریاضی یازدهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۳۶ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین مربوط به تحلیل یک **تابع پلکانی** است که اغلب در محاسبهٔ هزینه‌ها یا تعرفه‌های تصاعدی (مانند برق و آب) به کار می‌رود. ### ۱. تحلیل نمودار و مفهوم آن * **نوع تابع:** تابع **پلکانی صعودی** است. * **عرض پله‌ها:** پله‌ها در محور $\text{x}$ در مضرب‌های $\mathbf{31}$ واحد تغییر می‌کنند (۳۱، ۶۲، ۹۳، ...). * **ارتفاع پله‌ها:** هر پله $\mathbf{1}$ واحد در محور $\text{y}$ بالاتر می‌رود. **مفهوم مدل ریاضی:** نمودار پلکانی صعودی نشان می‌دهد که در یک بازهٔ مشخص، خروجی ($\\text{y}$) ثابت است، اما به محض عبور از مرز آن بازه، خروجی به صورت **جهشی** به یک مقدار بالاتر تغییر می‌کند. این مدل به‌احتمال زیاد مربوط به **محاسبهٔ هزینهٔ مصرف تصاعدی** است؛ مثلاً هزینهٔ برق، آب، یا تعرفه‌های پستی، جایی که هرچه مصرف بیشتر می‌شود، تعرفهٔ هر واحد بعدی نیز بیشتر می‌شود. ### ۲. کمیّت‌ها و واحدها با توجه به ساختار پلکانی: * **محور $\text{x}$ (افقی):** بیانگر **مقدار مصرف** (مانند کیلووات ساعت برق، متر مکعب آب، یا تعداد کالا) است. * **واحد:** به دلیل مضرب‌های ۳۱، واحد خاصی نمی‌توان دقیقاً گفت، اما می‌توان آن را **واحد مصرف (Unit of Consumption)** در نظر گرفت. * **محور $\text{y}$ (عمودی):** بیانگر **هزینه یا تعرفهٔ** مربوط به هر واحد مصرف است. * **واحد:** می‌تواند **ریال، تومان، یا واحد پولی** باشد. ### ۳. نوشتن ضابطه تابع ضابطهٔ تابع پلکانی را باید بر اساس بازه‌ها و ارتفاع هر پله بنویسیم. اگر $\text{x}$ میزان مصرف و $\text{f}(\text{x})$ هزینهٔ آن باشد: | بازه $\mathbf{\text{x}}$ (مصرف) | ارتفاع $\mathbf{\text{f}(\text{x})}$ (تعرفه) | |:---:|:---:| | $0 < \text{x} \le 31$ | $\mathbf{1}$ | | $31 < \text{x} \le 62$ | $\mathbf{2}$ | | $62 < \text{x} \le 93$ | $\mathbf{3}$ | | $\dots$ | $\dots$ | | $\mathbf{31(\text{k} - 1) < \text{x} \le 31\text{k}}$ | $\mathbf{\text{k}}$ | به صورت کلی، اگر $\text{k}$ شمارهٔ پله باشد ($\text{k} = 1, 2, 3, \dots$)، ارتفاع پله $\text{k}$ برابر با $\mathbf{\text{k}}$ است. **فرمول ریاضی ضابطه:** این تابع، شبیه به تابع سقف ($\\lceil \dots \rceil$) است: $$\mathbf{\text{f}(\text{x}) = \left\lceil \frac{\text{x}}{31} \right\rceil} \quad \text{برای } \mathbf{\text{x} > 0}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۳۶ ریاضی و آمار یازدهم انسانی این تمرین به شما کمک می‌کند تا **نمودارهای تابع** را با **مفاهیم فیزیکی و واقعی** مرتبط کنید. تحلیل هر نمودار باید بر اساس تغییرات $\text{y}$ (مقدار) نسبت به $\text{x}$ (زمان یا متغیر مستقل) انجام شود. --- ### ۱. تحلیل نمودار $\mathbf{A}$ (پلکانی با دو سطح ثابت) * **ساختار:** نمودار بین دو سطح ثابت $\mathbf{\text{y}=1}$ و $\mathbf{\text{y}=2}$ تغییر می‌کند. * **مفهوم:** این تغییر حالت، ناگهانی و ثابت است (مثلاً چراغ قرمز و سبز). * **ارتباط:** **چراغ راهنمایی و رانندگی سه حالته** ($\\mathbf{3}$). (با فرض اینکه یکی از حالت‌ها خاموش یا زرد است که در نمودار نیامده یا یکی از $\\text{y}=1$ و $\\text{y}=2$ حالت خاموش را نشان می‌دهند). اگر $\text{y}$ رنگ چراغ (1=قرمز، 2=سبز) باشد، نمودار نشان‌دهندهٔ تغییر ناگهانی از یک حالت به حالت دیگر است. **نتیجه: $\mathbf{A} \to \text{3}$ (چراغ راهنمایی)** --- ### ۲. تحلیل نمودار $\mathbf{B}$ (دندان اره‌ای) * **ساختار:** نمودار به صورت خطی (با شیب مثبت) بالا می‌رود، و در یک لحظه (در $\text{x}=1, 2, 3, \dots$) ناگهان به صفر می‌افتد و دوباره شروع به بالا رفتن می‌کند. * **مفهوم:** یک کمیت به صورت پیوسته و با نرخ ثابت افزایش می‌یابد (خط راست)، سپس به یکباره صفر می‌شود و چرخه دوباره تکرار می‌شود. این کمیت، همانند مقدار شن باقی‌مانده در ساعت شنی است. * **ارتباط:** **یک ساعت شنی** ($\\mathbf{1}$). با گذشت زمان ($\text{x}$)، شن باقی‌مانده در بالا کم می‌شود ($\text{y}$ کاهش می‌یابد)، و در هر ساعت، ساعت شنی برعکس شده و مقدار شن دوباره پر می‌شود (جهش مثبت). * **نکته:** اگرچه شیب مثبت است، اما این نمودار می‌تواند **باقی‌ماندهٔ زمانی** را در یک بازه (مثلاً $1$ ساعت) نشان دهد. نمودار در اصل **باقیماندهٔ تقسیم** است. **نتیجه: $\mathbf{B} \to \text{1}$ (ساعت شنی)** --- ### ۳. تحلیل نمودار $\mathbf{C}$ (نقطه-خط-نقطه) * **ساختار:** نمودار بین نقاط گسسته ($\\text{x}=0, 1, 2, 3, \dots$) و خطوط ثابت $\mathbf{\text{y}=0}$ در بین آن‌ها تغییر می‌کند. * **مفهوم:** یک اتفاق لحظه‌ای (نقطهٔ $\text{y}=1$) رخ می‌دهد و بلافاصله متوقف می‌شود ($\\text{y}=0$). این اتفاق در فواصل زمانی منظم رخ می‌دهد. * **ارتباط:** **پرنده‌ای که در ساعت دیواری در رأس هر ساعت بیرون می‌آید** ($\\mathbf{2}$). پرنده در لحظهٔ دقیق ساعت ($\text{x}=1, 2, 3, \dots$) بیرون می‌آید ($\text{y}=1$) و بلافاصله پنهان می‌شود ($\text{y}=0$). **نتیجه: $\mathbf{C} \to \text{2}$ (ساعت دیواری)**